Олимпиадный кружок по математике

Решаем задачи школьного и муниципального туров ВСОШ. Урок 1

Первая задача - на простейшие свойства натуральных чисел, вторая - биквадратное уравнение, третья задача про три разбегающиеся точки потребовала потребовала изучения теории - разных видов прямой. Четвёртая задача - про обобщённый ряд Фибоначчи также рассказана с теорией.

Решаем задачи школьного и муниципального туров ВСОШ. Урок 2

Задача 1. Найти наименьшее натуральное число из нулей и единиц, делящееся на 36.
Задача 2. Построить многочлен с двумя заданными корнями.
Задача 3. Премилая геометрия с толпой вписанных в одну окружность углов.
Задача 4. Многочлены.
Задача 5. Уравнение, в котором надо было 9 раз выделить полный квадрат.
Задача 6. Неравенства от нескольких переменных.
Задача 7. Сравнить два числа. Задача требует уметь обращаться с дробями. Поэтому занялись теорией.

Решаем задачи школьного и муниципального туров ВСОШ. Урок 3

00:16 Рассаживали зрителей в театре.
06:16 Шали в треугольнике все углы.
10:27 Некто задумал три числа, а сообщил их попарные суммы…
14:19 Олимпийский турнир – проигравший выбывает. С полной теорией.
27:54 Кто что задумал? Теория чисел.
31:54 Нудная комбинаторика от Бабы Яги.
35:00 Приятный прямоугольник, в котором море подобных треугольников.
41:50 Сложненькая, но содержательная задача не делимость с остатком. Кучу полезных приёмов освоили.
59:30 Вспомнили уравнение прямой на плоскости.
61:09 Дан треугольник своими сторонами. Найти расстояние от вершины до точки касания с вписанной окружностью. Так формула готовая есть!!!
66:16 Простым перебором из заданных цифр сложить требуемое равенство. Мы в этой лотерее победили: с первого раза угадали. Случайно!!!

Решаем задачи школьного и муниципального туров ВСОШ. Урок 4

00:17 Задача на движение. Легкая. Если мерить расстояния не в метрах, а в шагах.
02:02 Теорема Виета.
05:21 Еще раз теорема Виета.
06:31 Метод «олимпийского турнира: проигравший вылетает» применили к кораллам.
10:05 Инварианты. Зависли на 45 минут: коротко, но содержательно разобрали теорию.

Решаем задачи школьного и муниципального туров ВСОШ. Урок 5

00:07 Что больше: 31 в степени 11 или 17 в степени 14?
02:21 Каждая девочка дружит с 5 мальчиками, а каждый мальчик - с 4 девочками. Сколько детей?
04:15 Геометрия, в которой нужно-то было углядеть пару одинаковых треугольников.
13:55 Два игрока расставляют плюсы и минусы между числами, стараясь получить требуемое.
17:20 Функциональное уравнение. Стандартнейшее.
20:54 Болельщики двух команд на трибуне от души врут друг другу.
27:37 Девять игроков провели одинаковое время ан площадке. Сколько?
29:05 График расстояния от движущей точки до фиксированной.
31:10 Правило: если среди любых троих в компании есть Вася, то не-Вась не более двух.
35:29 Дед Мороз, как и положено, раздаёт подарки. А дальше начинается кутерьма: дети начинают передавать их друг другу.
39:47 Построили четырёхзначное число по требуемым свойствам.
44:02 Два квадрата накрывают друг друга. Как?
48:25 Задача про «триссектрисы» треугольника.

Решаем задачи школьного и муниципального туров ВСОШ. Урок 6

00:06 Забавная задача про корни функции, связанной с квадратным трёхчленом.
05:10 Инварианты на примере операции кратного увеличения набора чисел.
13:30 Неожиданное применение формулы разницы кубов при нахождении суммы.
16:16 Треугольник, в котором нужно дополнительное построение.
23:29 Классика замощения: красим клетки фигуры в шахматном порядке.
32:36 Задача про сумму углов правильного многоугольника.
35:58 Неравенство с двумя переменными. Не без средних арифметического и геометрического.
39:59 Неравенство с дискретной точкой в решении.
45:15 Уравнение в целых числах. Правило: произведение чётных чисел должно делиться на 4.
49:22 Правило: сумма чётного числа нечётных слагаемых чётна. Применили.
50:41 Число учеников класса кратно 3 и 4…
54:54 Снова разница и сумма кубов…
57:59 Треугольник, в котором нужно-то увидеть два равных треугольника.
1:01:14 Правдецы и лжецы. Считают сколько среди них честных.

Решаем задачи школьного и муниципального туров ВСОШ. Урок 7

00:05 Сумма делителей числа минус 4 равна самому числу. Найти его.
01:57 Барин приехал на час раньше обычного, кучера своего не стал ждать, пошёл пешком, в результате в имении своем очутился на 20 минут раньше обычного. (считается, что Л.Н. Толстой)
08:11 Два игрока камни забирают по очереди (себе за пазуху?). Классика задач на выигрышные стратегии. Поэтому тормознулись и малость занялись теорией.
19:47 Доказать, что уравнение в целых числах не имеет решений. Спойлер – смотрим остатки от деления на 4.
24:57 Очередная вариация на тему того, что 2025 – это 45 в квадрате.
26:29 Очередной чемпионат по футболу. Может команда, занявшая последнее место, выиграть у всех призёров?
29:45 Очередная задача на подобие треугольников. Такое ощущение, что в геометрии вообще больше ничего знать не надо. По крайней мере, на школьном туре олимпиады…
34:00 Чистой воды математический анализ. Требуется оценить второй знак после запятой у значений некоей функции.
37:28 Эту задачу решали больше минуты, а могли за 30 секунд решить.
38:44 Правдецы и лжецы. Я ругаюсь на составителей задачи. А они просто пытались сделать её проще…
41:31 Сума кубов равна сумме четвёртых и пятых степеней. Найти сумму сотых степеней.
44:26 Задача на тему «построить треугольник, у которого каждая сторона больше 100 км, а площадь меньше 0,01 квадратного миллиметра».
47:42 Хорошая задача на взвешивание монет. Хорошая – потому что надо обойтись всего одним взвешиванием. Это всегда интересно.

Решаем задачи школьного и муниципального туров ВСОШ. Урок 8

00:06 Даны 5 цифр и их всевозможные суммы не совпадают с ними…
01:30 Просто задача про реку и «сплавали туда-сюда». Без подвохов.
06:06 Найти наибольшее число, которое делится на 75 и в записи которого использованы все цифры по разу.
09:33 Только вписанные в окружность углы и ничего более.
14:52 Теорема Виета.
22:44 Сколько чисел-полиндромов среди…
29:26 Совсем уж детское уравнение… Скобки раскрыть, перед которыми минус стоит.
31:35 Даны два одинаковых прямоугольных треугольника с совпадающим прямым углом…
35:51 Первая за 8 занятий хоть сколь-нибудь сложная геометрия. Дан квадрат и в нём чёрт-те что понастроено. А по ходу ещё и дополнительный отрезок пришлось пририсовать… ...

Решаем задачи школьного и муниципального туров ВСОШ. Урок 9

00:06 Каждому денег на покупку нехватает, а сложились – и всё прекрасно.
03:13 Доказать, что число вида … делится на 1053.
09:04 Простая рядовая задачи на смеси-сплавы.
16:05 Доказали, что если высота и медиана треугольника делят свой угол на три равные части, то угол этот – прямой.
20:16 Могут для нецелых х и у быть целыми 7х+6у и 8х+7у?
21:19 Может разность квадратов натуральных чисел равняться 2023?
23:36 Дана трапеция со своими биссектрисами. Найти отношение площадей некоторых треугольников.
28:17 Невнимательно прочитал условие, поэтому решил задачу с гораздо более жёстким условием, чем требовалось. Сумма и произведение чисел должны были быть степенями двойки. Я же сделал, чтобы они, кроме того, равными оказались.
31:55 Даны три числа и некие их производные. Добились, чтобы наибольшее количество из них были отрицательными.
33:23 Прекрасная геометрическая задача про вписанные в окружность углы.

Решаем задачи школьного и муниципального туров ВСОШ. Урок 10

00:23 Текстовая задача на проценты. Простая.
02:40 Какой цифрой оканчивается сумма степеней разной чётности числа 2024?
03:59 Трапеция, неравенство треугольника и целые числа.
08:22 Расставили по полкам книги.
10:34 Можно ли расставить числа от 1 до 15 по кругу так, чтобы сумма любых двух соседних была квадратом натурального числа?
16:56 Красивая геометрия про треугольник с биссектрисой, медианой и высотой.
29:44 Неравенство с симметрическими многочленами. Не без неравенства о средних.
34:11 Может произведение чисел разной чётности быть нечётным? Вот и мы об этом…
36:18 Сумма трёх натуральных чисел равна 7. Сколько у такого уравнения решений? Либо в лоб, либо знать задачу садовника из комбинаторики.

Решаем задачи школьного и муниципального туров ВСОШ. Урок 11

00:16 В параллелограмме одна его диагональ равна какой-то стороне. Тогда вторая диагональ…
16:04 На 2n шарах записали числа от 1 до 2n, так что…
19:10 Что-то очень похожее на теорему Мюрхеда (если кто её знает). А если ещё не знали, то…
28:57 Инварианты.
32:01 Не совсем олимпиадная задача. Катеты прямоугольного треугольника – решения квадратного уравнения. А найти нужно радиус описанной окружности.
36:14 Ещё одна несложная геометрия. Даны стороны равнобедренного треугольника и нужно найти…
42:20 Основная теорема арифметики.

Решаем задачи школьного и муниципального туров ВСОШ. Урок 12

00:08 Написано число 1000. Разрешённая операция – прибавить к числу любую его цифру. Что можно получить?
02:07 Чётность в сюжете с теннисными мячами.
04:22 Прямоугольный треугольник, вписанная в него окружность и биссектриса… br> 21:01 Сравнить 15 в степени 15 и 3 в степени 40. br> 22:34 Расставляем 1, 0 и -1 в клетки квадрата 5 на 5 и выходим на принцип Дирихле.
25:47 Найти сумму цифр разности чисел 10 в тысячной и сотой степени.
28:38 Уравнение, сводящееся к квадратному.
31:04 Квадратное уравнение с параметром. Почти ЕГЭ, но не совсем. При каких значениях параметра корни целые?
40:17 Даны равнобедренный и равносторонние треугольники с общей стороной. Найдите…

Решаем задачи школьного и муниципального туров ВСОШ. Урок 13

00:06 Если сумма квадратов равна нулю, то …
00:50 Даны две пересекающиеся прямые и точка, которая находится на расстоянии а и b от них. На каком расстоянии эта точка находится от точки пересечения. Не догадались ввести систему координат и промучились.
12:14 Стандартнейшая игра забирать камни из трёх куч.
14:44 Очень простая расстановка 8 чисел по кругу.
17:13 Задача про свойства квадратного трёхчлена.
22:19 Доказать, что прямая является касательной к окружности. Все знают равенство каких углов надо доказывать для этого?
37:09 Олимпиадная суперклассика про 6 знакомых-незнакомых.

Решаем задачи школьного и муниципального туров ВСОШ. Урок 14

...

Решаем задачи школьного и муниципального туров ВСОШ. Урок 15

...

Неравенства. Метод упорядоченных наборов

Метод упорядоченных наборов, сформулированный как "набрать себе кучу денег из трёх мешков", прост и нагляден. Но в математике позволяет решать/доказывать сложнейшие неравенства.

Неравенства. Метод выпуклых функций. Часть 1

Начали обсуждать неравенства, но неожиданно свернули в обсуждение геометрии масс. Она нам позволила вывести неравенство Йенсена.

Неравенства. Метод выпуклых функций. Часть 2

Неравенство Йенсена позволяет в одно действие решать/доказывать совершенно убийственные неравенства, которые даже внешне выглядят жутко.

Неравенства. Геометрические методы

Неравенство Коши-Буняковского и другие геометрические идеи при решении неравенств. Добрая старая олимпиадная классика.

Неравенства. Решение задач.Часть 1.

Мы уже освоили основные методы решения неравенств. Теперь применяем их на практике. Решаем задачи.

Неравенства. Решение задач.
Часть 2.

Мы уже освоили основные методы решения неравенств. Теперь применяем их на практике. Решаем задачи.

Формально пятый урок по теме "Комбинаторика". Но этот материал мы не рекомендуем для 5-7 классов. Рекомендуемый уровень - 8-10 классы. Если школьники имеют достаточный уровень подготовки, то можно начинать прямо с этих занятий. Если нет - можно послушать предыдущие лекции. На уроке изучаем базовые понятия из комбинаторики - перестановки, размещения и сочетания. Здесь же коротко говорим о биноме Ньютона и треугольнике Паскаля (этим разделам в будущем будут посвящены специальные уроки).

Чем различаются сочетания и размещения? Разбираемся на приме-ре класса из 15 учеников, из которых 3 надо отправить дежурить в столовую. В одном случае неизвестно чес они будут заниматься, а во втором одного нужно назначить резать хлеб, второго – разносить хлеб, а третьего – разливать компот. А далее перешли к следующей задаче: в классе 15 мальчиков и 15 девочек. Сколькими способами их можно разбить на пары? Оказалось, что это условие имеет пять разных толкований. Разбираемся в них. И выясняем в чём различия: в том, как трактовать являются ли возникающие пары одинаковыми или нет.

Завершаем цикл по комбинаторике. Задача садовника, выборки с повторениями и другие сложности-вкусности.

...

...

...

...

...

...