Подготовка к профильному ЕГЭ по математике для 11 классов

Параметры

Урок 1. Фрагмент 1

Параметры

Урок 1. Фрагмент 2

Параметры

Урок 1. Фрагмент 3

Параметры

Урок 1. Фрагмент 4. Симметрия

Параметры

Урок 1. Фрагмент 5. Графические методы на х, у

Параметры

Урок 1. Фрагмент 6. Методы 4 и 5

Параметры

Урок 2 Вводная часть

Параметры

Урок 2. Ограниченность

Параметры

Урок 2. Монотонность

Параметры

Урок 2. Разбор задач

Параметры

Урок 2. Лирическое отступление и еще одна задача

Параметры

Урок 2. Разбор задач на симметрии

Параметры

Урок 2. Задача из досрочного ЕГЭ

Параметры

Урок 2. Симметрии и квадатные уравнения

Параметры

Урок 3. Графика на x, y

Параметры

Урок 3. Графика на x, a

Параметры

Урок 3. Нашли х

Параметры

Урок 3. Фрагмент 4 Задачи

Что говорил Цыганов

Вводный урок

Начинается цикл программ "Готовимся к профильному ЕГЭ по математике"

Пятиугольники

Квадраты, ромбы

Разбор двух задач про квадраты и ромбы, а также домашняя работа - две задачи (86В99А и 78А6С2 из открытого банка заданий ЕГЭ ФИПИ) для самостоятельного решения для закрепления материала.

00:16 В единичном квадрате ABCD точки Е и F - середины АВ и ВС соответственно. Отрезки AF и DE пересекаются в точке G.
а) Докажите, что угол BGE равен 45 градусов.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника BCG.

18:02 Стороны АВ и AD квадрата ABCD касаются окружности, радиус которой втрое меньше стороны квадрата.
а) Докажите, что эта окружность делит диагональ квадрата на три равные части.
б) Касательная к окружности, проведённая через точку В, пересекает сторону CD в точке Е. Найдите длину DE, если сторона квадрата равна 18.

24:21 Прямая, перпендикулярная стороне ВС ромба ABCD, пересекает его диагонали АС и ВD в точках Е и F соответственно так, что AE:EC=2:3, BF:FD=1:3.
а) Найдите синус угла BAD.
б) Найдите площадь ABCD, если FO=1, где О - точка пересечения диагоналей.

Окружности

Разбор трёх задач, а также домашняя работа - две задачи (6B82FF и 8377A1 из открытого банка заданий ЕГЭ ФИПИ) для самостоятельного решения для закрепления материала.

00:11 Окружность с центром О касается сторон угла с вершиной в точке А в точках В и С, Прямая ВО вторично пересекает эту окружность в точке D.
а1) Докажите, что ВС перпендикулярно AO.
а2) Докажите, что СD параллельно АО.
а3) Докажите, что угол САВ в два раза больше угла ОВС.
б) Найдите ВС, если СD=1 и АО=8.

18:02 Две окружности касаются внутренним образом в точке С. Точки А и В лежат соответственно на малой и большой окружностях так, что в треугольнике АВС угол А равен 60 градусов, а угол С - прямой. Прямая АС повторно пересекает большую окружность в точке D, а прямая ВС повторно пересекает малую окружность в точке Е.
а) Докажите, что углы СЕА и СВD равны.
б) Найдите АВ, если радиус малой окружности равен 1, а большой равен 3.

18:53 На отрезках АВ и ВС прямой АС как на диаметрах построены две окружности. Прямая AD касается окружности с диаметром ВС в точке D и пересекает окружность с диаметром АВ в точке Е. Прямая ВD пересекает окружность с диаметром АВ в точке F.
а) Докажите, что AF параллельно CD.
б) Найдите площадь треугольника ABC, если ED=1 и АЕ=5.

Четрырёхугольники

Разбор четырёх задач, а также домашняя работа - две задачи (56C211 и С5В743 из открытого банка заданий ЕГЭ ФИПИ) для самостоятельного решения для закрепления материала.

00:09 На стороне острого угла с вершиной А отметили точку В и опустили из неё перпендикуляры ВС и ВD на биссектрису и на другую сторону этого угла соответственно.
а) Докажите, что АС²+CD²= AD²+BD².
б) Прямые АС и ВD пересекаются в точке Е. Найдите АЕ:ЕС, если угол А равен 60 градусов.

10:12 Точки Е, F и G делят пополам соответственно стороны АВ, ВС и СD выпуклого четырёхугольника АВСD. Известно, что ЕF=3, FG=4 и радиус окружности, описанной вокруг треугольника ЕFG равен R=2,5. Угол FGE -острый.
а) Докажите, что угол ЕFG прямой.
б) Найдите площадь АВСD.

22:18 Четырёхугольник АВСD вписан в окружность радиуса 5. Известно, что АВ=ВС=СD=6.
а) Докажите, что ВС параллельна АD.
б) Найдите AD.

39:07 В четырёхугольник ABCD углами В и С, равными 120 градусам и прямым углом А, вписана окружность с центром в точке О. Окружность касается АD в точке Е.
а) Докажите, что точка С лежит на прямой ЕО.
б) Найдите СD, если радиус окружности равен 1.

Параллелограмм

Разбор четырёх задач, а также домашняя работа - четыре задачи (FAAE63, 2412FA, 36се6е и 0ВС5F1 из открытого банка заданий ЕГЭ ФИПИ) для самостоятельного решения для закрепления материала.

02:58 Через вершину В прямоугольника АВСD провели перпендикуляр к АС, который пересёк сторону АD в точке Е так, что ВЕ=ЕD.
а) Найдите угол между АС и АD.
б) Найдите расстояние от В до прямой СЕ, если АВ=1.

16:24 На стороне ВС параллелограмма АВСD выбрана точке Е так, что АЕ=ЕС.
а) Докажите, что центр вписанной в треугольник АЕD окружности лежит на АС.
б) Найдите радиус этой окружности, если АВ=1, ВС=2 и угол ВАD равен 60 градусов.

30:52 В параллелограмме АВСD проведены высоты ВЕ и ВF к сторонам AD и CD соответственно. На стороне AD выбрана точка G так, что АG=ВЕ. Кроме того, известно, что АВ=ВF.
а) Докажите, что ВG=EF.
б) Найдите радиус описанной около треугольника BEF окружности, если ВЕ=12 и АВ=13.

39:05 Окружность проходит через вершины А, В и С параллелограмма АВСDи пересекает продолжение АD за точку D в точке Е, а продолжение СD за точку D в точке F.
а) Докажите, что точка ВF=ВЕ.
б) Найдите радиус этой окружности, если ВЕ и СD перпендикулярны, АВ=1 и угол ВАD равен 60 градусов.

Равнобедренные трапеции

Разбор двух задач, а также домашняя работа - задача 832С34 из открытого банка заданий ЕГЭ ФИПИ) для самостоятельного решения для закрепления материала.

00:20 В равнобедренной трапеции АВСD основания AD= 7 и ВС=1, а боковая сторона АВ=5.
а) Из точки В опустили высоту ВЕ на АD. Докажите, что АЕ*ЕD=12.
б) Пусть F - точка пересечения диагоналей трапеции. Найдите расстояние от В до середины АF.

08:54 В равнобедренной трапеции АВСD биссектрисы углов А и С пересекаются в точке Е. На боковых сторонах АВ и СD выбраны точки F и G соответственно так, что АF=FЕ и СG=GE.
а) Докажите, что точки F, E и G лежат на прямой, параллельной основаниям трапеции.
б) Найдите CG:GD, если АD=4, ВС=2 и АЕ=ЕС.

Равнобедренные трапеции

Разбор двух задач, а также домашняя работа - задача 832С34 из открытого банка заданий ЕГЭ ФИПИ) для самостоятельного решения для закрепления материала.

00:06 В равнобедренной трапеции АВСD стороны AВ=ВС=СD=1. На плоскости выбрали точку Е так, чтобы ВЕ было перпендикулярно АD, а СЕ - перпендикулярно ВD.
а) Докажите равенство углов АЕВ и АDВ.
б) Найдите площадь АВСD, если АВ=1 и угол АЕВ равен 30 градусам.

08:18 Диагонали АС и ВD равнобедренной трапеции АВСD перпендикулярны. Окружность с диаметром АD пересекает сторону СD в точке Е, окружность с диаметром СD пересекает сторону АD в точке F. Отрезки АЕ и СF пересекаются в точке G.
а) Докажите, что в АВСD можно вписать окружность
б) Найдите её радиус, если ВС=1 и АD=7.

Трапеции

Разбор двух задач, а также домашняя работа - задача B3890А из открытого банка заданий ЕГЭ ФИПИ) для самостоятельного решения для закрепления материала.

00:06 Теория.

10:48 Окружность с центром О отсекает на двух параллельных прямых единичные отрезки. На одной из этих прямых отмечена точка А, на другой - точке В так, что А и В лежат снаружи от окружности, а сама окружность отсекает на отрезке АВ единичный отрезок СD.
а) Докажите, что угол АОВ прямой.
б) Найдите расстояние между прямыми, если АС=3 и DB=1.

24:17 В трапеции АВСD угол АВС прямой. Окружность, построенная на АD как на диаметре, пересекает меньшее основание ВС в точках С и Е.
а) Докажите равенство углов ВАЕ и АDЕ.
б) Диагонали трапеции АВСD пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника АВО, если АВ=1 и СЕ:СВ=2:3.

Трапеция

Разбор трёх задач, а также домашняя работа -задачи 5СВС00, 4Е19FD и 15ЕF35 из открытого банка заданий ЕГЭ ФИПИ) для самостоятельного решения для закрепления материала.

00:08 Трапеция АВСD с основаниями АD и ВС такая, что АВ=ВС=СD=2.
а) Докажите, что АС - биссектриса угла ВАD.
б) Найдите АD, если АС=3.

07:33 В трапеции АВСD основание АD=2ВС. Из точек В и С провели перпендикуляры к сторонам АВ и СD соответственно так, что эти перпендикуляры пересекаются в точке Е.
а) Докажите равенство углов ЕАD и ЕDА.
б) Найдите СD, если АВ=ВС=1 и синус угла ЕАD равен 0,6.

17:49 Точка Е делит боковую сторону СD трапеции АВСD в отношении СЕ:ЕD=1:2. На стороне АВ выставили точку F так, что FС параллельно АЕ. Отрезки FC и ВЕ пересекаются в точке G.
а) Докажите, что FG:GC=2:1.
б1) Найдите AD:BC, если площадь АВСD в 9 раз больше площади треугольника ADE.
б2) Найдите AD:BC, если площадь АВСD в 9 раз больше площади треугольника FBC.

Прямоугольные и равнобедренные треугольники

Разбор трёх задач, а также домашняя работа - задачи B5D2B2, 5Е7ВDЕ и ЕF3DDA из открытого банка заданий ЕГЭ ФИПИ) для самостоятельного решения для закрепления материала.

00:08 На стороне АВ равностороннего треугольника АВС отмечена точка В так, что АD < DC. Серединный перпендикуляр к ВD пересекает стороны АВ и ВС в точках Е и F cоответственно.
а) Докажите, что треугольники АЕD и СDF подобны.
б) Найдите АD:DC, если площадь треугольника АЕD равна 16, а площадь треугольника СDF равна 25.

10:26 Точка О - середина гипотенузы АВ прямоугольного треугольника АВС. На катете АС выбрали точку D так, что АD:DC=1:2. При этом ОD оказалось перпендикулярным ОС.
а) Докажите, что угол ВАС равен 30 градусов.
б) Пусть прямые ОD и ВС пересекаются в точке Е, а прямые АЕ и ВD - в точке F. Найдите DF, если ВС=1.

25:30 Точка D лежит на катете АС прямоугольного треугольника АВС так, что DC=СВ. Точка Е лежит на продолжении ВС за точку С так, что ЕС=СА.
а) Пусть СF - медиана треугольника АВС, а СG - медиана треугольника DЕС. Докажите, что СF перпендикулярно СG.
б) Прямые DЕ и АВ пересекаются в точке Н. Прямые ВD и АЕ пересекаются в точке К. Найдите КН, если ВС=6 и АС=8.

Треугольники и окружности.

Разбор трёх задач, а также домашняя работа - задачи 54Е571, 0е9DD3 и 7С842В из открытого банка заданий ЕГЭ ФИПИ для самостоятельного решения для закрепления материала.

00:08 В треугольнике АВС углы А, В и С равны 45, 75 и 60 градусов соответственно. Высоты ВВ_1 и СС_1 пересекают повторно описанную вокруг АВС окружность в точках D и Е соответственно.
а) Докажите, что АD=ВС=АЕ.
б) Найдите площадь треугольника FDЕ, где F - точка пересечения прямых DЕ и ВС. Известно, что радиус описанной окружности равен 1.

13:13 В остроугольном треугольнике АВС угол А в два раза больше угла В. Точка О - центр описанной вокруг АВС окружности. Окружность, описанная вокруг треугольника АОС, повторно пересекает сторону ВС в точка D.
а) Докажите, что АD=DB.
б) Найдите АВ, если АС=5 и ВС=6.

20:50 В треугольнике АВС на сторонах АВ и ВС выставлены точки D и Е соответственно так, что DЕ параллельна АС и АD:DВ=2:1. Прямая DЕ касается вписанной в треугольник АВС окружности в точке F.
а) Докажите, что АС=(АВ+ВС)/2.
б) Найдите радиус вписанной в треугольник окружности, если DF=1 и FE=2.

Треугольники.

Этот урок завершает курс по планиметрии.
Разбор пяти задач, а также домашняя работа - задачи 4F4F44, 2АЕ241, 10D010 и 0063ЕD из открытого банка заданий ЕГЭ ФИПИ для самостоятельного решения для закрепления материала.

00:08 На сторонах треугольника АВ, ВС и СА треугольника АВС поставлены точки С1, А1 и В1 соответственно так, что АС1:С1В=8:3, ВА1:А1С=1:2 и СВ1:В1А=3:1. Отрезки ВВ1 и СС1 пересекаются в точке D.
а) Докажите, что АDА1В1 - параллелограмм.
б) Найдите радиус окружности, описанной вокруг АВС, если АD перпендикулярно ВС, АС=10 и ВС=9.

12:43 В тупоугольном треугольнике АВС углы А, В и С равны 120, 45 и 15 градусов соответственно. Точки А1, В1 и С1 - середины сторон ВС, СА и АВ соответственно, а АD - высота треугольника АВС.
а) Докажите, что А1, В1, С1 иD лежат на одной окружности.
б) Найдите А1D, если АС=1.

18:14 Высоты ВВ1 и СС1 остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке Н.
а) Докажите, что углы НАВ1 и В1С1Н равны.
б) Найдите расстояние от центра описанной около треугольника АВС окружности до стороны ВС, если В1С1 равен корню из трёх.

28:28 Высоты АА1, ВВ1 и СС1 остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке Н. Через точку С1 провели прямую, параллельную ВВ1, которая пересекла АА1 в точке D.
а) Докажите, что произведение АВ и DН равно произведению ВС и С1Н.
б) Найдите отношение площадей треугольников АВС и С1НD, если АВ=5, ВС=6 и СА=7.

37:11 В равнобедренном треугольнике АВС провели биссектрису ВD. Далее боковую сторону ВС продолжили за точку С до точки F. Из точки F опустили перпендикуляр на прямую АС, которая пересекла её в точке Е.
а) Докажите, что АВ:ВF=FD:DE.
б) Найдите отношение площадей треугольника АВС и четырёхугольника FCDG, если ВС:СF=2:1, а точка G - это точка пересечения прямых ВD и АF.

Симметрии в параметрах.

Теория и разбор трёх задач.

02:00 Что симметрии в параметрах? Разбирается на примере уравнения x⁴-2|x|-a=0 и двух систем. Первая система состоит из двух уравнений

10:34 При каких значениях параметра а система, состоящая из уравнений a(x⁴+1)=y+1 и x⁴+y⁴=1, имеет единственное решение?

12:31 Найдите количество решений системы, состоящей из уравнений
x⁴-y⁴=a²-2 и x²+y²=a, при всевозможных значениях параметра а.

18:12 При каких значениях параметра а уравнение
$\sqrt{x^4+{\mathrm{(а-15)}}^4}$=|x+a-15|+|x-a+15| имеет единственное решение?

Квадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к квадратным.

Внимание! Теория вынесена в отдельный факультативный урок, который мы, конечно, тоже опубликуем. Здесь решаем задачи. Разбор трёх задач, а также домашняя работа - задачи 617476, 11D603 и Bc0636 из открытого банка заданий ЕГЭ ФИПИ для самостоятельного решения для закрепления материала.

02:23 При каких значениях параметра а уравнение
9^x - (a+1)*3^x =|a|*3^x - |a|*(a+1) имеет единственное решение?

05:55 При каких значениях параметра а уравнение a*(x+(1/x))² -(x+(1/x))+2-4a=0 имеет ровно два разных решения?

18:49 При каких значениях параметра а уравнение
(|x-a²|+|x+1|)² - 4*(|x-a²|+|x+1|) +a²+1=0 имеет ровно два разных решения?

Графические методы. Плоскость (х, у). Графики функций с модулем.

Первый наш урок, в котором появляются "мультики" - построение графиков в динамическом режиме. Теория и разбор двух задач, а также домашняя работа - задачи 7СС260, б/н из открытого банка заданий ЕГЭ ФИПИ с "мультиками"-решениями.

00:08 Теория

03:09 Строим графики функций
у=|х+а| и у=|х|+а.

04:38 Строим графики
у=|х+а|+|х-а| и |х|+|у|=а.

07:45 Найти количество решений системы уравнений
|х|+|у|=а и у=$\sqrt{\mathrm{(x+1)}}$при всевозможных значениях параметра а.

11:39 Найти количество решений системы уравнений
|y|=|x²-2x| и y=x+a при всевозможных значениях параметра а.

Графические методы. Плоскость (х, а).

00:08 Теория

02:11 При каких значения параметра а уравнение (x-a)(x-a²)=0 имеет а) два решения, б) одно решение? Конечно, это вводная задача. Можно сказать, что теория.

03:40 Графически-динамическое решение. Он же - мультик № 1.

06:30 А далее мы пошли путём усложнения исходной задачи. И за пару итераций получим "обычную" задачу ЕГЭ. При каких значения параметра а уравнение
((x-a)(x-a²))/(x+3a+2)=0 имеет одно решение? Поясню - в левую часть уравнения мы просто добавили знаменатель.

10:22 Графически-динамическое решение. Он же - мультик № 2.

13:10 Продолжаем усложнять уравнение. Выражение в знаменателе поставим под корень. При каких значения параметра а уравнение
((x-a)(x-a²))/$\sqrt{\mathrm{(x+3a+2)}}$ имеет одно решение?

15:54 Графически-динамическое решение. Он же - мультик № 3.

20:00 Найти количество решений уравнения
sqrt{x⁴-4x²+9a²}=x²+2x-3a при всевозможных значениях параметра а.

Графические методы. Плоскость (х, а).

00:13 При каких значения параметра а уравнение
$\sqrt{\mathrm{(x-1)}}$*\ln(x+a)=$\sqrt{\mathrm{(x-1)}}$*\ln(2x-a) имеет одно решение?

03:06 Графически-динамическое решение. Он же - мультик № 1.

06:10 При каких значения параметра а уравнение
$\sqrt{\mathrm{(x-1)}}$*\ln(x+a)=$\sqrt{\mathrm{(x-1)}}$*\ln(2x-a) имеет одно решение на (0; 2)?

11:36 Графически-динамическое решение. Он же - мультик № 2.

13:10 При каких значения параметра а уравнение
(x+\log₂{(x+a)²})²=(x-\log₂{(x+a)²})² имеет одно решение на [0; 2]?

15:41 Графически-динамическое решение. Он же - мультик № 3.

18:23 При каких значения параметра а равнение
sqrt{x²-a²}=\sqrt{4x²-(4a+2)*x+2a} имеет одно решение на [0; 1]?.

20:00 Найти количество решений уравнения
sqrt{x⁴-4x²+9a²}=x²+2x-3a при всевозможных значениях параметра а.

22:20 При каких значения параметра а система ax>+1, a<$\sqrt{x}$, a>x-2 имеет хотя бы одно решение на [1; 3]?

24:33 Графически-динамическое решение. Он же - мультик № 4.

29:13 Найти количество решений уравнения x²+a²-2x-3a=|a-2x| при всевозможных значениях параметра а.

29:32 Графически-динамическое решение. Он же - мультик № 5.

36:08 Девять задач на дом.

37:01 Девять мультиков-подсказок-решений домашних заданий.

Графические методы. Плоскость (х, y).

00:27 При каких значениях параметра а система уравнений
y=ax²+2ax+a-1=0, y²=x² имеет 4 решения?

08:57 При каких значениях параметра а система уравнений
x²+y²-2ax-4ay+4a²=0, xy+1=x+y имеет 4 решения?

14:22 Графически-динамическое решение. Он же - мультик № 1.

18:37 Найти количество решений системы уравнений
x²+y²=2x+4y-4, x²+y²=a² при всевозможных значениях параметра а.

25:00 Графически-динамическое решение. Он же - мультик № 2.

26:31 Шесть задач на дом.

27:07 Шесть мультиков-подсказок-решений домашних заданий.

Графические методы. Плоскость (х, y).

00:27 При каких значениях параметра а система уравнений
(xy-x-1)*\$\sqrt{\mathrm{(y-x-1)}}$=0,
y=2x+a имеет 2 решения?

08:38 Графически-динамическое решение. Он же - мультик № 1.

10:15 При каких значениях параметра а система уравнений
x²+y²=a²,
x²+y=|2a-4| имеет 4 решения?

16:46 Графически-динамическое решение. Он же - мультик № 2.

27:00 Графически-динамическое решение. Он же - мультик № 3.

28:25 Три задачи на дом.

28:45 Три мультика-подсказки-решения домашних заданий.

Графические методы. Плоскость (х, y).

00:09 При каких значениях параметра а система уравнений
x²+y²=2x-4y,
ln (1-y²)=ln (1-a²x²) имеет 2 решения?

06:44 Графически-динамическое решение. Он же - мультик № 1.

21:35 При каких значениях параметра а система уравнений
x²+y²=1,
(y-ax-2)*(y-ax-a)=0 имеет 4 решения?

29:58 Графически-динамическое решение. Он же - мультик № 2.

32:14 Шесть задач на дом.

32:44 Шесть мультиков-подсказок-решений домашних заданий.

Факультативный урок 1. Квадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к ним.

Уравнения, сводящиеся к квадратным, решаются по жёсткой схеме. Это факультативное занятие посвящено разбору этой схемы.

00:50 Вводная задача. При каких значениях параметра а уравнение ax²-a*(a-1)x+a²=0 имеет а) два решения, б) одно решение, в) ни одного решения? Здесь же формулируется нулевое правило.

05:10 При каких значениях параметра а уравнение x⁴-2ax²+a²-4a+1=0 имеет а) четыре, б) три, в) два, г) одно решение, д) ни одного решения? Здесь же даётся пошаговая схема решения уравнений, сводящихся к квадратным. По существу мы разбираем теорию и параллельно с её помощью решаем данный пример.

25:37 Графически-динамическое решение. Он же - мультик № 1.

26:42 Ещё один мультик. Мультик №2.

Факультативный урок 2.
Графики функций с модулем.

00:07 Теория про свойства функций (ограниченность и монотонность) на примере решения уравнений
cosx=x²+a и \sqrt{x-1}+log₅x + x=a при всевозможных значениях параметра а.

02:00 Графически-динамическое решение. Он же - мультик № 1.

04:28 Ещё один мультик. Мультик №2.

05:23 При каких значениях параметра а уравнение
cos⁵x+cos⁷x=(x²+a)⁵+(x²+a)⁷ имеет одно решение?

06:42 При каких значениях параметра а уравнение |cos⁴x+a-1|+|cos⁴x+a-7|=6 имеет решения? Решаем двумя способами.

10:14 Третий способ решения. Мультяшный. Мультик № 3.

10:42 При всех значениях параметра а решить уравнение x⁴+a²=|x-a|+|x+a|.

12:46 Используем для наглядности мультик.

13:42 Продолжаем решать нашу задачу.

Арифметические прогрессии и среднее арифметическое.

Разбор трёх задач, а также домашняя работа - задачи F58FFD, 9C9614 и A65127 из открытого банка заданий ЕГЭ ФИПИ для самостоятельного решения для закрепления материала.

03:49 В двух школах 100 учеников написали тест (в каждой - не менее 2 человек). Результат теста для каждого школьника - натуральное число, и, кроме того, средний балл в каждой школе тоже число натуральное. Одного ученика из школы № 1 перевели в школу № 2 и пересчитали средние баллы в каждой из школ. а) Могли ли средние баллы вырасти в обеих школах?

06:43 б) Мог ли средний балл в школе № 1 вырасти в два раза?

13:33 в) Условие задачи чуть изменилось: в двух школах учатся 99 человек. Средний балл в каждой школе увеличился на 10%. Мог ли средний балл в школе № 2 изначально равняться 1?

13:33 в) Условие задачи чуть изменилось: в двух школах учатся 99 человек. Средний балл в каждой школе увеличился на 10%. Мог ли средний балл в школе № 2 изначально равняться 1?

20:34 г) Средний балл в каждой школе увеличился на 10%. Чему равно наименьшее возможное количество баллов у ученика, который перешёл из школы в школу?

23:47 Задача F58FFD для самостоятельного решения.

23:53 Даны сто разных натуральных чисел с суммой 5055.
а) Может ли среди них встретиться 110?
б) Может ли среди них НЕ встретиться 95?
в) Может ли среди них НЕ встретиться 99?
г) Какое наименьшее количество чисел их множества {1, 2, ..., 99, 100} может содержаться в данном наборе?ия.

32:38 Задача 9С9614 для самостоятельного решения.

32:43 В классе поровну мальчиков и девочек. Каждый мальчик отправил девочкам из этого класса 5 или 11 писем, причём, и тех, и других было не менее 2 человека.
а) Могла ли каждая девочка получить 7 писем?
б) Какое минимальное количество девочек могло быть, если они получили одинаковое количество писем?
в) Какое максимальное количество девочек могло быть, если они получили разное количество писем (0 писем для одной из девочек возможен)?

45:02 Задача А65127 для самостоятельного решения.

Разбор пяти задач, а также домашняя работа - пять задач из открытого банка заданий ЕГЭ ФИПИ для самостоятельного решения для закрепления материала.

00:08 На доске написаны n подряд идущих натуральных числа. Оказалось, что среди них чисел, делящихся на 10 меньше, чем чисел, делящихся на 11. а) Может ли такое быть?
б) Может ли среди записанных чисел ровно 8 делиться на 10?
в) Найдите наибольшее возможное значение n.

09:20 Задача 2907еВ для самостоятельного решения.

09:25 На доске написаны разные натуральные числа. Произведение любых двух из них больше 15, но меньше 70. а) Может на доске быть 5 чисел?
б) Может на доске быть 6 чисел?
в) На доске написаны 4 числа. Найдите наибольшее значение их суммы.

15:12 Задача АВ0F0C для самостоятельного решения.

15:18 В классе больше 8, но меньше 11 учеников, а девочек не более 21% от общего числа учеников.
а) Может ли доля девочек равняться ровно 10%?
б) Может девочек стать больше 30%, если в класс придёт ещё одна девочка?
в) В класс пришла ещё одна девочка и процент девочек стал выражаться натуральным числом. Найдите его максимальное возможное значение.

21:33 Задача D3C577 для самостоятельного решения.

21:39 Мука и сахар расфасованы в мешки по 1 кг и 2 кг весом. Количество мешков с сахаром равно 60% от ообщего числа мешков. а) Могут ли мука и сахар совпадать по массе?
б) Может ли масса сахара составлять 40% от общей массы?
в) Какова наибольшая возможная доля массы сахара относительно общей массы?

31:12 Задача 2В4308 для самостоятельного решения.

31:16 В первой кучк 7 камней, во второй 11 камней, в третьей куче 0 камней. За один ход можно выбрать кучу и положить в неё по 1 камню из двух оставшихся куч. а) Можно ли получить в первой куче 7 камней, во второй 8 камней и в третьей 3 камня?
б) Можно ли собрать все камни в третьей куче?
в) После нескольких ходов в первой куче остался 1 камень. Какое наименьшее количество камней при этом может быть во второй куче?

33:47 Задача 7СА5F3 для самостоятельного решения.

Разбор трёх задач, а также домашняя работа - три задач из открытого банка заданий ЕГЭ ФИПИ для самостоятельного решения для закрепления материала.

00:12 На доске написаны различные неотрицательные целые числа, разбитые на группы А, В и С. К каждому числу из группы А справа приписали цифру 1, из группы В - цифру 9, а числа из группы С не трогали.
а) Может ли сумма всех чисел увеличиться в 12 раз?
б) Может ли сумма всех чисел увеличиться в 20 раз?
в) Найдите наибольшее возможное значение отношения сумм чисел после и до проведённой операции.

20:38 Задача В5D110 для самостоятельного решения.

20:43 На доске написаны по возрастанию 9 разных натуральных чисел. Среднее арифметическое первых пяти из них равно 4, а последних пяти чисел равно 9.
а) Может ли такое быть?
б) Может на а_5 равняться 11?
в) Найдите наибольшее значение разносит m - a_5, где m - среднее арифметическое этих девяти чисел.

28:47 Задача АВ0F0C для самостоятельного решения.

28:52 Есть 4 камня массой 3 кг и 7 камней массой 10 кг.
а) Можно ли их всех разложить на две кучи равной массы?
б) Можно ли их всех разложить на две кучи с разностью масс 1 кг?
в) Какова наименьшая возможная разность масс куч?

31:21 Задача 0FB969 для самостоятельного решения.

Разбор четырёх задач, а также домашняя работа - три задач из открытого банка заданий ЕГЭ ФИПИ для самостоятельного решения для закрепления материала.

00:10 На доске написаны 10 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое любых двух или трёх из них является натуральным числом.
а) Могут ли среди записанных чисел присутствовать 5 и 10?
б) Может ли среди записанных чисел присутствовать квадрат натурального числа, если есть число 5?
в) Известно, что среди записанных чисел есть 1 и квадрат натурального числа n. Найдите все n< 30.

11:42 Задача А68DFB для самостоятельного решения.

11:42 На доске написаны разные натуральные числа, в записи которых используются только цифры 1 и 6.
а) Может ли их сумма равняться 173?
б) Может ли их сумма равняться 110?
в) Какое наименьшее количество чисел может быть на доске, если их сумма равна 355?

16:33 Задача 6Е32АD для самостоятельного решения.

16:38В первый день Маша съела m конфет, а Наташа съела n конфет. В каждый последующий день обе девочки съедали на одну конфету больше, чем в предыдущий. Известно, что Маша суммарно съела на 1001 конфету больше, чем Наташа.
а) Могли ли они портить зубы на протяжении 7 дней?
б) Могли ли они портить зубы на протяжении 8 дней?
в) Какое наибольшее количество конфет могла съесть Маша, если в последний день перед походом к стоматологу Наташа съела меньше 40 конфет?

25:05 Есть 10 монет по 2 рубля и 10 монет по 5 рублей.
а) Можно ли набрать из них ровно 68 рублей?
б) Можно ли набрать из них ровно 69 рублей?
в) Какое наименьшее количество монет достоинством 1 рубль нужно добавить, чтобы можно было составить любую сумму от 1 до 73 рублей включительно?

29:25 Задача С009С4 для самостоятельного решения.