Подготовка к профильному ЕГЭ по математике для 11 классов

Параметры

Урок 1. Фрагмент 1

Параметры

Урок 1. Фрагмент 2

Параметры

Урок 1. Фрагмент 3

Параметры

Урок 1. Фрагмент 4. Симметрия

Параметры

Урок 1. Фрагмент 5. Графические методы на х, у

Параметры

Урок 1. Фрагмент 6. Методы 4 и 5

Параметры

Урок 2 Вводная часть

Параметры

Урок 2. Ограниченность

Параметры

Урок 2. Монотонность

Параметры

Урок 2. Разбор задач

Параметры

Урок 2. Лирическое отступление и еще одна задача

Параметры

Урок 2. Разбор задач на симметрии

Параметры

Урок 2. Задача из досрочного ЕГЭ

Параметры

Урок 2. Симметрии и квадатные уравнения

Параметры

Урок 3. Графика на x, y

Параметры

Урок 3. Графика на x, a

Параметры

Урок 3. Нашли х

Параметры

Урок 3. Фрагмент 4 Задачи

Что говорил Цыганов

Вводный урок

Начинается цикл программ "Готовимся к профильному ЕГЭ по математике"

Пятиугольники

Квадраты, ромбы

Разбор двух задач про квадраты и ромбы, а также домашняя работа - две задачи (86В99А и 78А6С2 из открытого банка заданий ЕГЭ ФИПИ) для самостоятельного решения для закрепления материала.

00:16 В единичном квадрате ABCD точки Е и F - середины АВ и ВС соответственно. Отрезки AF и DE пересекаются в точке G.
а) Докажите, что угол BGE равен 45 градусов.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника BCG.

18:02 Стороны АВ и AD квадрата ABCD касаются окружности, радиус которой втрое меньше стороны квадрата.
а) Докажите, что эта окружность делит диагональ квадрата на три равные части.
б) Касательная к окружности, проведённая через точку В, пересекает сторону CD в точке Е. Найдите длину DE, если сторона квадрата равна 18.

24:21 Прямая, перпендикулярная стороне ВС ромба ABCD, пересекает его диагонали АС и ВD в точках Е и F соответственно так, что AE:EC=2:3, BF:FD=1:3.
а) Найдите синус угла BAD.
б) Найдите площадь ABCD, если FO=1, где О - точка пересечения диагоналей.

Окружности

Разбор трёх задач, а также домашняя работа - две задачи (6B82FF и 8377A1 из открытого банка заданий ЕГЭ ФИПИ) для самостоятельного решения для закрепления материала.

00:11 Окружность с центром О касается сторон угла с вершиной в точке А в точках В и С, Прямая ВО вторично пересекает эту окружность в точке D.
а1) Докажите, что ВС перпендикулярно AO.
а2) Докажите, что СD параллельно АО.
а3) Докажите, что угол САВ в два раза больше угла ОВС.
б) Найдите ВС, если СD=1 и АО=8.

18:02 Две окружности касаются внутренним образом в точке С. Точки А и В лежат соответственно на малой и большой окружностях так, что в треугольнике АВС угол А равен 60 градусов, а угол С - прямой. Прямая АС повторно пересекает большую окружность в точке D, а прямая ВС повторно пересекает малую окружность в точке Е.
а) Докажите, что углы СЕА и СВD равны.
б) Найдите АВ, если радиус малой окружности равен 1, а большой равен 3.

18:53 На отрезках АВ и ВС прямой АС как на диаметрах построены две окружности. Прямая AD касается окружности с диаметром ВС в точке D и пересекает окружность с диаметром АВ в точке Е. Прямая ВD пересекает окружность с диаметром АВ в точке F.
а) Докажите, что AF параллельно CD.
б) Найдите площадь треугольника ABC, если ED=1 и АЕ=5.

Четрырёхугольники

Разбор четырёх задач, а также домашняя работа - две задачи (56C211 и С5В743 из открытого банка заданий ЕГЭ ФИПИ) для самостоятельного решения для закрепления материала.

00:09 На стороне острого угла с вершиной А отметили точку В и опустили из неё перпендикуляры ВС и ВD на биссектрису и на другую сторону этого угла соответственно.
а) Докажите, что АС²+CD²= AD²+BD².
б) Прямые АС и ВD пересекаются в точке Е. Найдите АЕ:ЕС, если угол А равен 60 градусов.

10:12 Точки Е, F и G делят пополам соответственно стороны АВ, ВС и СD выпуклого четырёхугольника АВСD. Известно, что ЕF=3, FG=4 и радиус окружности, описанной вокруг треугольника ЕFG равен R=2,5. Угол FGE -острый.
а) Докажите, что угол ЕFG прямой.
б) Найдите площадь АВСD.

22:18 Четырёхугольник АВСD вписан в окружность радиуса 5. Известно, что АВ=ВС=СD=6.
а) Докажите, что ВС параллельна АD.
б) Найдите AD.

39:07 В четырёхугольник ABCD углами В и С, равными 120 градусам и прямым углом А, вписана окружность с центром в точке О. Окружность касается АD в точке Е.
а) Докажите, что точка С лежит на прямой ЕО.
б) Найдите СD, если радиус окружности равен 1.

Параллелограмм

Разбор четырёх задач, а также домашняя работа - четыре задачи (FAAE63, 2412FA, 36се6е и 0ВС5F1 из открытого банка заданий ЕГЭ ФИПИ) для самостоятельного решения для закрепления материала.

02:58 Через вершину В прямоугольника АВСD провели перпендикуляр к АС, который пересёк сторону АD в точке Е так, что ВЕ=ЕD.
а) Найдите угол между АС и АD.
б) Найдите расстояние от В до прямой СЕ, если АВ=1.

16:24 На стороне ВС параллелограмма АВСD выбрана точке Е так, что АЕ=ЕС.
а) Докажите, что центр вписанной в треугольник АЕD окружности лежит на АС.
б) Найдите радиус этой окружности, если АВ=1, ВС=2 и угол ВАD равен 60 градусов.

30:52 В параллелограмме АВСD проведены высоты ВЕ и ВF к сторонам AD и CD соответственно. На стороне AD выбрана точка G так, что АG=ВЕ. Кроме того, известно, что АВ=ВF.
а) Докажите, что ВG=EF.
б) Найдите радиус описанной около треугольника BEF окружности, если ВЕ=12 и АВ=13.

39:05 Окружность проходит через вершины А, В и С параллелограмма АВСDи пересекает продолжение АD за точку D в точке Е, а продолжение СD за точку D в точке F.
а) Докажите, что точка ВF=ВЕ.
б) Найдите радиус этой окружности, если ВЕ и СD перпендикулярны, АВ=1 и угол ВАD равен 60 градусов.

Равнобедренные трапеции

Разбор двух задач, а также домашняя работа - задача 832С34 из открытого банка заданий ЕГЭ ФИПИ) для самостоятельного решения для закрепления материала.

00:20 В равнобедренной трапеции АВСD основания AD= 7 и ВС=1, а боковая сторона АВ=5.
а) Из точки В опустили высоту ВЕ на АD. Докажите, что АЕ*ЕD=12.
б) Пусть F - точка пересечения диагоналей трапеции. Найдите расстояние от В до середины АF.

08:54 В равнобедренной трапеции АВСD биссектрисы углов А и С пересекаются в точке Е. На боковых сторонах АВ и СD выбраны точки F и G соответственно так, что АF=FЕ и СG=GE.
а) Докажите, что точки F, E и G лежат на прямой, параллельной основаниям трапеции.
б) Найдите CG:GD, если АD=4, ВС=2 и АЕ=ЕС.

Равнобедренные трапеции

Разбор двух задач, а также домашняя работа - задача 832С34 из открытого банка заданий ЕГЭ ФИПИ) для самостоятельного решения для закрепления материала.

00:06 В равнобедренной трапеции АВСD стороны AВ=ВС=СD=1. На плоскости выбрали точку Е так, чтобы ВЕ было перпендикулярно АD, а СЕ - перпендикулярно ВD.
а) Докажите равенство углов АЕВ и АDВ.
б) Найдите площадь АВСD, если АВ=1 и угол АЕВ равен 30 градусам.

08:18 Диагонали АС и ВD равнобедренной трапеции АВСD перпендикулярны. Окружность с диаметром АD пересекает сторону СD в точке Е, окружность с диаметром СD пересекает сторону АD в точке F. Отрезки АЕ и СF пересекаются в точке G.
а) Докажите, что в АВСD можно вписать окружность
б) Найдите её радиус, если ВС=1 и АD=7.

Трапеции

Разбор двух задач, а также домашняя работа - задача B3890А из открытого банка заданий ЕГЭ ФИПИ) для самостоятельного решения для закрепления материала.

00:06 Теория.

Трапеция

Разбор трёх задач, а также домашняя работа -задачи 5СВС00, 4Е19FD и 15ЕF35 из открытого банка заданий ЕГЭ ФИПИ) для самостоятельного решения для закрепления материала.

00:08 Трапеция АВСD с основаниями АD и ВС такая, что АВ=ВС=СD=2.
а) Докажите, что АС - биссектриса угла ВАD.
б) Найдите АD, если АС=3.

07:33 В трапеции АВСD основание АD=2ВС. Из точек В и С провели перпендикуляры к сторонам АВ и СD соответственно так, что эти перпендикуляры пересекаются в точке Е.
а) Докажите равенство углов ЕАD и ЕDА.
б) Найдите СD, если АВ=ВС=1 и синус угла ЕАD равен 0,6.

17:49 Точка Е делит боковую сторону СD трапеции АВСD в отношении СЕ:ЕD=1:2. На стороне АВ выставили точку F так, что FС параллельно АЕ. Отрезки FC и ВЕ пересекаются в точке G.
а) Докажите, что FG:GC=2:1.
б1) Найдите AD:BC, если площадь АВСD в 9 раз больше площади треугольника ADE.
б2) Найдите AD:BC, если площадь АВСD в 9 раз больше площади треугольника FBC.

Прямоугольные и равнобедренные треугольники

Разбор трёх задач, а также домашняя работа - задачи B5D2B2, 5Е7ВDЕ и ЕF3DDA из открытого банка заданий ЕГЭ ФИПИ) для самостоятельного решения для закрепления материала.

00:08 На стороне АВ равностороннего треугольника АВС отмечена точка В так, что АD < DC. Серединный перпендикуляр к ВD пересекает стороны АВ и ВС в точках Е и F cоответственно.
а) Докажите, что треугольники АЕD и СDF подобны.
б) Найдите АD:DC, если площадь треугольника АЕD равна 16, а площадь треугольника СDF равна 25.

10:26 Точка О - середина гипотенузы АВ прямоугольного треугольника АВС. На катете АС выбрали точку D так, что АD:DC=1:2. При этом ОD оказалось перпендикулярным ОС.
а) Докажите, что угол ВАС равен 30 градусов.
б) Пусть прямые ОD и ВС пересекаются в точке Е, а прямые АЕ и ВD - в точке F. Найдите DF, если ВС=1.

25:30 Точка D лежит на катете АС прямоугольного треугольника АВС так, что DC=СВ. Точка Е лежит на продолжении ВС за точку С так, что ЕС=СА.
а) Пусть СF - медиана треугольника АВС, а СG - медиана треугольника DЕС. Докажите, что СF перпендикулярно СG.
б) Прямые DЕ и АВ пересекаются в точке Н. Прямые ВD и АЕ пересекаются в точке К. Найдите КН, если ВС=6 и АС=8.

Треугольники и окружности.

Разбор трёх задач, а также домашняя работа - задачи 54Е571, 0е9DD3 и 7С842В из открытого банка заданий ЕГЭ ФИПИ для самостоятельного решения для закрепления материала.

00:08 В треугольнике АВС углы А, В и С равны 45, 75 и 60 градусов соответственно. Высоты ВВ_1 и СС_1 пересекают повторно описанную вокруг АВС окружность в точках D и Е соответственно.
а) Докажите, что АD=ВС=АЕ.
б) Найдите площадь треугольника FDЕ, где F - точка пересечения прямых DЕ и ВС. Известно, что радиус описанной окружности равен 1.

13:13 В остроугольном треугольнике АВС угол А в два раза больше угла В. Точка О - центр описанной вокруг АВС окружности. Окружность, описанная вокруг треугольника АОС, повторно пересекает сторону ВС в точка D.
а) Докажите, что АD=DB.
б) Найдите АВ, если АС=5 и ВС=6.

20:50 В треугольнике АВС на сторонах АВ и ВС выставлены точки D и Е соответственно так, что DЕ параллельна АС и АD:DВ=2:1. Прямая DЕ касается вписанной в треугольник АВС окружности в точке F.
а) Докажите, что АС=(АВ+ВС)/2.
б) Найдите радиус вписанной в треугольник окружности, если DF=1 и FE=2.

Симметрии в параметрах.

Теория и разбор трёх задач.

Квадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к квадратным.

Внимание! Теория вынесена в отдельный факультативный урок, который мы, конечно, тоже опубликуем. Здесь решаем задачи. Разбор трёх задач, а также домашняя работа - задачи 617476, 11D603 и Bc0636 из открытого банка заданий ЕГЭ ФИПИ для самостоятельного решения для закрепления материала.

Графические методы. Плоскость (х, у). Графики функций с модулем.

Первый наш урок, в котором появляются "мультики" - построение графиков в динамическом режиме. Теория и разбор двух задач, а также домашняя работа - задачи 7СС260, б/н из открытого банка заданий ЕГЭ ФИПИ с "мультиками"-решениями.