Олимпиадный кружок по математике

Готовимся к олимпиаде.
Урок 1

Решили 6 задач, одну из них - на принцип Дирихле - с теорией.

Готовимся к олимпиаде.
Урок 2.

Разобрали очередную порцию задач, вспомнили НОД и НОК. Встретили задачу на инварианты, и на ней мы задержались, разобрав соответствующую теорию.

Готовимся к олимпиаде.
Урок 3. Часть 1.

Третий урок подряд попадаются задачи на "разделить прямоугольник на меньшие по размеру". Сегодня их было аж три!

Готовимся к олимпиаде.
Урок 3. Часть 2.

Много времени посвятили разбору темы "Морской бой". Это не совсем об игре, это когда числа по определённым правилам в таблицу расставляются. Выяснили как решать их в общем случае.

Готовимся к олимпиаде.
Урок 4. Часть 1.

Ещё две задачи делили прямоугольники на квадраты. Потом лист загибали. Вспомнили, что девятью распилами бревно разрезается на десять частей.

Готовимся к олимпиаде.
Урок 4. Часть 2.

Порешали уравнения на целые числа, а тормознулись на задаче, в которой на бесконечную ленту выписывают числа по заданному алгоритму. Потому что вывели общее правило.

Готовимся к олимпиаде.
Урок 5.

Решили простенькую задачу про "девять распилов - десять частей" и пару задач по теории чисел (посмотрели остатки от деления на 3 и на 2). Почти час посвятили методике решения текстовых задач на работу и производительность труда.

Готовимся к олимпиаде.
Урок 6.

1. Сумма числа и его цифр делится на 3. А разность числа и всех его цифр делится на 4. Нашли все такие двузначные числа. Вспомнили все признаки делимости, включая делимость на 11.
2. Нашли девятизначное число, которое делится на 13 и у которого все цифры различны.
3. Машина катается по кольцевой трассе. Заменили машинку на минутную стрелку, а трассу на часовой круг и оказалось, что задача стала легкой и наглядной.
4. Расставили по кругу числа 1 до 8 так, чтобы сумма любых двух соседних была простым числом.
5. Двоечник Петя и уравнение в целых числах.
6. Высаживали цветы в саду. Комбинаторика.
7. Применили признак делимости на 5.
8. Опять и снова делили квадрат на маленькие прямоугольники.
9. Решали уравнение в целых числах.

Готовимся к олимпиаде.
Урок 7.

00:35 Уравнение в целых числах.
10:04 Нашли цифры числа из уравнения.
23:29 Несложная задача на движение.
32:30 Разрезали прямоугольник на кучу мелких…
42:04 При расстановке натурального ряда чисел по спирали есть закономерность. Запомните её!
52:03 Текстовая задача с календарём и мороженым в феврале.
60:11 Текстовая задача с ветвящимся процессом.
63:12 Текстовая задача про зебр.
69:33 Бег по кругу с полной теорией

Готовимся к олимпиаде.
Урок 8.

00:25 Готовим школьный бал: выбор партнёров по росту.
02:16 Логика с количеством детей в семье
12:57 Комбинаторика: 16 рублей надо набрать разными монетами.
16:07 Считаем количество строк и столбцов в таблице.
25:06 Наглядная геометрия – из рисунка всё видно.
29:31 Необычная формулировка комбинаторики с 20-угольником.
33:22 Олимпийский турнир – проигравший выбывает. С полной теорией.
48:39 Логика и теория множеств в одном флаконе: девочки задуманное число угадывали, задавая вопросы.
53:37 Площади многоугольников на миллиметровке. Стандартная задача ОГЭ/ЕГЭ.
60:15 Комбинаторика. Затейливая: считаем количество украшений, состоящих из цепочки, камня и кулона.

Готовимся к олимпиаде.
Урок 9.

00:47 Конструирование ситуации. Колю надо зачем-то как можно ниже в таблице результатов олимпиады поставить.
10:12 Просто магический квадрат.
15:46 Типовая задача про попарные суммы какого-то множества. Сформулирована про покупки.
23:58 Правдецов и лгунов поставили в ряд. Очень простая: дал второклассникам – с ходу решили.
28:37 Забавный лабиринт – стенки надо ломать.
34:39 По кругу записали 101 число. Среди любых 3 подряд идущих есть хотя бы одно чётное… Обозвал эту задачу противной.
40:08 Ещё одна задача про попарные суммы множества. В этот раз в условие подтянули Незнайку.
47:37 Про календарь. Какого числа был последний вторник из задачи?
57:20 Геометрия. Главная проблема – с десятой попытки нарисовать чертёж, похожий на условие. Как только нарисовали – всё стало видно.
1:15:20 Бесконечная лента с числами. Уже сто раз обговорено, что в таких задачах числа образуют повторяющуюся последовательность. Её и искали.

Готовимся к олимпиаде.
Урок 10.

00:21 Правдецы и лжецы, стоящие в ряд.
06:36 Текстовая задача: Дима докупил носки. Было-стало…
11:18 Передружили мальчиков и девочек из 6Б.
18:27 Сначала думали, что тигры бегают по кругу, а оказалось, что круг не при чём. Просто задача на движение.
23:31 Классика. Точки на прямой и попарные расстояния между ними. Надо просто запомнить это решение.
29:51 Комбинаторика, но красиво сформулированная. Про клавиатуру компа.
37:07 Сложная задача, но классная и весёлая! Фишку двигали по доске по стрелкам. А потом часть стрелок убрали… Решили её и попутно обсудили методы решения подобных задач.
55:22 Петя и Вася соревновались в получении пятёрок. Легкая, но я её назвал необычной.
58:41 Сумма 9 подряд идущих последовательных натуральных чисел не равна 43040102. Почему?
Не приступаю к решению, предположили, что на 9 (почему именно на 9?) не делится. Так и оказалось.
1:06:28 Премилая геометрия. А идея решения от семилетнего Гаусса, который сложил все натуральные числа от 1 до 100. И геометрию решили, и Гаусса вспомнили.
1:12:56 Логика. Считаем число правильных утверждений.

Готовимся к олимпиаде.
Урок 11.

00:40 Рассаживали жуков по банкам. Нудно – банок слишком много.
14:46 Правдецы и лжецы. Но условие завернули от души! Развернули, оказалось не сильно сложно. Хотя…
18:39 Число разделили с остатком на все числа от 60 до 100. Остатки – все числа от 10 до 50. Доказать, что число делится на 10. Сложно. Даже принцип Дирихле вылез по ходу.
31:21 Очень хитрый магический квадрат. Методом научного тыка построили. Но помогла чистой воды интуиция.
36:23 Построили число по условиям на его цифры. Легко.
38:38 На плоскости дано 20 точек. На двух прямых лежит по 7. Может на третьей лежать 10?
43:37 Нашли НОД всех чисел, образованных цифрами 2, 0,2, 1, 2, 0, 2, 2, 2, 0, 2,3. К просмотру обязательно!!! Дал важнейшую идею, которую надо знать.
47:16 Дед Мороз конфеты раздаёт. Откровенно простая задача.
49:43 Задача, в которой каждая точка окрашена в один из 2 (3, 4 и т.д.) цветов. Рассказал всё теорию про такие задачи с несколькими примерами.
1:02:33 В рамках теории про цветную геометрию разобрали суперзнаменитую и суперклассическую олимпиадную задачу про 6 человек, среди которых обязательно есть 3 либо попарно знакомых, либо попарно незнакомых. Её надо знать.

Готовимся к олимпиаде.
Урок 12.

00:17 Задача на наложения. Сверхпростая.
02:03 Логика. Баба Яга, Кощей и Горыныч в гости собрались…
07:38 Самый обычный магический квадрат. Совет: начинайте с 5 в центре.
10:26 Текстовая задача про производительность труда и трудодни (знаете, что это?)
14:24 Текстовая задача на движения. Легкая!!!
17:21 Из трёх натуральных чисел образованы попарные разности, которые являются последовательными. Запомним, что это -1, 0 и 1!!!
22:57 Задача про недовольных детей. Нам такое не подходит, мы оптимисты. Поэтому недовольных убрали, а детям раздали шарики. И неожиданно задача стала лёгкой.
26:40 Три игрока играют, забирая со стола монеты. Кто победит? Классика игр.
35:25 Раскрашиваем клетки таблицы в разные цвета. Тоже классика.
41:19 Правдецы и лжецы встали в ряд… Классическая классика.
48:31 Расставляем числа от 1 до 7. Комбинаторика с подвохом.
55:33 Крош и Ёж бегут… Движение. Простая задача.
58:40 Выписали числа от 1 до 377, а потом покрасили их в красный и синий… Сколько каких?

Готовимся к олимпиаде.
Урок 13.

00:18 Найдите количество трёхзначных чисел, у которых вторая цифра меньше третьей на 3.
03:30 Классика! Двое идут навстречу друг другу, а между ними бегает собака.
07:09 Огораживаем участок и выясняем, что это можно сделать всего двумя способами. Легко!
11:33 На прошлом уроке надо было сделать детей недовольными, а тут надо сделать обезьян счастливыми. Одна и та же задача. Этот вариант – чуть сложнее.
18:24 Задача на проценты и на аккуратность в решении.
27:24 Классическая тема – считаем внуков у бабушки. Никто к дедушке никогда не едет…
29:30 Незатейливая задача на проценты про длину и частоту шагов туристов.
30:55 Задача про то, что произведение двух чётных чисел должно делиться на 4. Эта идея используется регулярно!
37:02 Очередная закраска доски шахматным порядком. Конкретно здесь жуки летают.
39:58 Правдецы и лжецы. Рекомендую к ознакомлению – весьма поучительная.

Готовимся к олимпиаде.
Урок 14.

00:05 В классе 50% процентов занимаются в одном кружке, а 55% - в другом. Найти…
03:16 Саму предложенную задачу решили не решать, но разобрали как по данным периметру и площади складывать из квадратиков фигуры.
10:37 Построили семизначные числа по заданным свойствам их цифр.
15:24 Очень коварненькая задача на принцип Дирихле.
27:43 Правдецы и лжецы за круглым столом.
33:30 Разрезали прямоугольник на квадраты. Безидейно, методом тыка.
34:43 Числа в вершины прямоугольника расставляли так, чтобы…
38:37 Раскладывали на множители (в уме) числа вида 202520252025.
42:49 Дети участвовали в олимпиаде и показали результаты…
45:44 На кочках на болоте сидят лжецы и правдецы…
49:08 Из числа вычли сумму его цифр, кроме одной. Какой?

Готовимся к олимпиаде.
Урок 15.

00:18 Детская задача.
02:04 Задача на тему «олимпийский турнир».
05:34 Можно ли разрезать квадрат со стороной 35 на прямоугольники чётной площади? Странный вопрос? Тем не менее…
08:48 Правдецы и лжецы выведены в задаче как пираты. И названы лжецами и рыцарями. Пират-рыцарь? Интересный народ математики…
17:01 По кругу выписаны числа и каждое следующее больше произведения двух предыдущих…
21:44 Очередная детская задача. Пока я собирался её рассказывать, Вероника её решила.
27:28 Если абориген правдец/лжец говорит, что у них на острове все лцецы, то а) это лжец, б) на острове есть правдецы. Это правило надо просто знать!
32:54 Считаем число лестничных проёмов между этажами.
36:22 Числовой ребус. Нудный.

Готовимся к олимпиаде.
Урок 16.

00:06 Брат догоняет сестрёнку
06:48 Квадрат разрезали на прямоугольники с целыми периметрами. Хотим, чтобы периметр квадрата был не целым числом.
08:48 Забавный сюжет. Две семьи меряются … общим весом членов этих семей.
13:48 Семь белых и семь чёрных котят стоят по кругу. Найти котёнка, у которого два соседа.
17:37 Сколько элементов в множестве, из которого можно выделить 76% и 5/37 общего числа элементов.
21:29 Хамелеоны перекрашиваются. Сколько их?
23:19 Сколько шестизначных чисел обладает свойством… Классика жанра.
26:20 Задача на игры. Дальше не пошли, занялись теорией.

Готовимся к олимпиаде.
Урок 17.

01:34 В 3000-м году сборная Бразилии на чемпионате мира по хоккею…
06:17 Расставили в ряд 0 и 1. А потом сказали для каждого числа сколько правее него 0 и сколько левее него 1…
17:25 Тринадцать правдецов и лжецов стоят по кругу и каждый заявляет: «Все, кроме меня и двух моих соседей, лжецы!» Сколько правдецов?
23:15 Крысы ели сыр (верим), а потом у них животы заболели (это уж навряд ли).
26:47 Задача, в которой надо знать признак делимости на 11. И всё!
29:53 Десять настоящих монет и одна фальшивая неизвестного веса. И два взвешивания найти 8 настоящих.
32:30 Сумма чисел от 1 до 2021 без одного делится на 2022. Без какого?
34:36 На шахматной доске написаны числа. Двумя разрешёнными операциями получить все 0.
40:16 Сколько существует десятизначных чисел таких, что…
46:54 Дедушка и внук играют в игру. Игра реально классная, с 3 вёдрами и переливаниями.

Тема первая - комбинаторика.

На первом уроке начинаем с правила произведения, то есть с корзинок и карточек. Рассматриваем такие нюансы, как порядок заполнения карточек, выбор объектов на роль корзинок и карточек, изучаем перестановки.

Второй урок по теме "Комбинаторика".

Продолжаем возиться с корзинками и карточками, но уже на примере задач олимпиадного уровня.

Третий урок по теме "Комбинаторика".

Завершаем разбор материала, который рекомендуем, в том числе для школьников, начиная с 5 класса.

Четвёртый урок по теме "Комбинаторика".

Завершаем разбор материала, который рекомендуем, в том числе для школьников, начиная с 5 класса. На этом уроке новой теории нет, только решаем задачи

Принцип Дирихле. Если 4 зайчиков рассадить по 3 клеткам, то..

На самом деле удивительный принцип. Впервые с ним может столкнуться третьеклассник, причём пожмёт плечами - эка невидаль. И потом будет встречаться с ним вплоть до 11 класса, обнаружив, что "эка невидаль" позволяет решать зубодробительные задачи. Мы с Артёмом и Вероникой в 35 минут успели впихнуть всю базу - от зайчиков до геометрического принципа Дирихле.

01:53 Допустим, что в мире есть карандаши только 7 цветов. У Васи 8 карандашей. Докажите, что у него есть хотя бы 2 карандаша одного цвета. Разгоняемся, как понимаете. Учимся назначать какие-то объекты "зайцами", а какие-то - "клетками". И начинаем "клетки" подписывать.
03:44 Куча задач с разноцветными карандашами. Осваиваемся...
09:25 Докажите, что среди любых 5 человек найдутся двое, у которых одинаковое количество знакомых в этой пятёрке. Уже есть о чём задуматься...
12:35 Идёт чемпионат по чему-нибудь, в котором участвуют 15 (20, 30 - сколько хотите) команд. Всё, что нам надо - он должен быть однокруговым. Доказать, что в любой момент времени найдутся хотя бы две команды, которые на этот момент провели одинаковое число игр. Выяснили, что, несмотря на другой сюжет, второй раз подряд решали одну и ту же математическую задачу. Бывает... Мои помощники сразу не сообразили, но если кто-то сразу догадался - молодец.
14:13 Добрались до геометрического принципа Дирихле. Бросили 5 точек внутрь равностороннего треугольника со стороной 2. Доказать, что найдутся две из них такие, что расстояние между ними не превосходит 1. Чесстно - это пока не очень геометрический Дирихле, надо исходный треугольник разрезать на 4 одинаковых поменьше, и...
15:40 В единичный квадрат бросили 51 точку. Доказать, что... Закрепляем освоенный метод.
17:34 Добрались до "совсем геометрического принципа Дирихле". В круг радиуса 10 бросили 122 точки. Доказать, что... Тут уже надо работать с площадями фигур, но знать этот приём категорически рекомендую.
23:02 Пошёл следующий блок задач - с числами. Конечно, начинаем с детской задачи. Есть 11 натуральных чисел. Докажите, что среди них есть хотя бы два, оканчивающихся на одинаковую цифру.
24:39 Добрались до сложненьких задач. Доказать, что существует число вида 1...10...0 (сначала сколько-то единиц, потом - сколько-то нулей), которое делится нацело на 2027.
28:17 Доказать, что существует число состоящее только лишь из единиц, которое делится нацело на 2027.
30:11 Доказать, что существует степень числа 3, оканчивающаяся на 001.
32:58 Доказать, что среди любых 100 натуральных чисел найдутся несколько (возможно, одно) так, что их сумма делится на 100.

Следующая олимпиадная тема - игры и выигрышные стратегии.

Всего у нас будет три урока на эту тему. Первый урок - теория и разбор задач одной из сюжетных линий в "игровых задачах". Но начали мы с задач-шуток: с поедания шоколада и пары подобных задач, в которых (спойлер!) вообще нет никакой выигрышной стратегии

12:00 Мы перешли к симметриям. Начали с игры, в которой два игрока выставляют доминошки на шахматную доску. Очень наглядно: геометрическая симметрия видна сразу и интуитивно понятна.
15:15 Два игрока выставляют на шахматную доску слонов так, чтобы они не били друг друга. Важная задача: в ней работают и центральная, и осевая симметрии.
17:10 А бывает негеометрическая симметрия? Да, и мы переходим к следующему сюжету (кстати, их немного): растаскиванию камней из одной, двух или нескольких куч по определенному правилу.
21:00 Выигрышные позиции и классическая задача про числовую последовательность, в которой два игрока по очереди называют числа от 1 до 10 и складывают их, пытаясь назвать 100.
24:08 Следующая задача и следующий сюжет: два игрока двигают какую-то одну шахматную фигуру по шахматной доске. Начали с ладьи.
27:57 Аналогичная задача с шахматным королём.
31:00 До сих пор рассматривались задачи для объяснения теории, а здесь наши ведущие сыграли в "Свою игру". Ш.И. предложил Артёму и Веронике на выбор задачи одной из трёх сюжетных линий. Что выбрали Вероника с Артёмом - смотрим, а далее решаем вместе с ними.

Просто решаем задачи

Сегодня у нас урок весёлый. Мы не просто решаем задачи на игры, но ещё и устроили соревнование между Вероникой и Артёмом кто больше задач решил.
А игры у нас сегодня с кучами камней, из которых два игрока забирают оные по очереди по каким-то правилам. Камни кончились перед твоим ходом и тебе нечего брать? Ну, ты и проиграл. Все задачи

01:39 можно увидеть сразу в одном кадре. А они таковы:
1) в одной куче 21 камень, во второй - 20. Ход - выбрать любую имеющуюся на данный момент кучу и забрать её целиком. Вторую кучу разделить произвольным образом.
2) в одной куче 21 камень, во второй - 20. Ход - забрать любое количество камней из какой-то кучи или забрать поровну камней из двух имеющихся на данный момент куч.
3) две кучи по 11 камней. Ход - брать 3 камня, причём 2 из одной 1 камень из другой кучи.
4) три кучи по 11 камней. Ход - брать любое количество камней из одной кучи.
5) 10 камней в одной куче. Ход - брать 1, 2 или 4 камня.
6) 64 камня в одной куче. Ход - брать не более половины из имеющихся в данный момент камней.
8-9) Игровое поле 1 на 15 или 2 на 15. У каждого игрока камень (или камни) своего цвета. Надо лишить хода соперника.
10)* три кучи камней с 5, 6 и 7 камнями соответственно. Ход - взять любое количество камней из какой-то одной кучи.

Третий, заключительный урок с играми.

Ясно, что всегда играют двое, а игры такие...
1. На доске записано число 24. Ход - вычитаем из имеющегося на данный момент числа любой его делитель (кроме самого числа) и выписываем на доску получившийся результат. Предыдущее число убираем. Побеждает тот, кто запишет число 1.
2. На доске записано число 1. Ход - умножаем имеющееся на данный момент на доске число на любое из чисел 1, 2, ... или 9 и выписываем на доску получившийся результат. Предыдущее число убираем. Побеждает тот, кто запишет число большее 1000.
3. На доске записано число 0. Ход - прибавляем к имеющемуся на данный момент на доске числу любое из чисел 1, 2, ... или 9 и выписываем на доску получившийся результат. Предыдущее число убираем. Побеждает тот, кто запишет число 100. Забавно! Задача - визитная карточка темы затерялась где-то в середине списка.
4. На доске записано число 3. Ход - прибавляем к имеющемуся на данный момент на доске числу любое число меньшее текущего и выписываем на доску получившийся результат. Предыдущее число убираем. Побеждает тот, кто запишет число 1024.
5. Прямоугольный стол. Два игрока выкладывают на него одинаковые монетки так, чтобы монетки не выступали за края и не накладывались друг на друга. Проигрывает тот, кому некуда ходить.
6. Два игрока записывают по очереди цифры так, чтобы образовалось 9-значное число. Может ли первый игрок обеспечить, чтобы оно нацело делилось на 9?
7. На окружности отмечены 12 точек. Два игрока соединяют какие-то пары этих точек отрезками так, чтобы отрезки не пересекались (конец отрезка в отрезок входит). Проигрывает тот, кому некуда ходить.
8. Шоколадка 4 на 6, которую два игрока по очереди разламывают вдоль бороздок. Побеждает тот, кто получит дольку 1 на 1.
9. Крестики-нолики с дополнительной клеточкой. Доказать, что первый может гарантировать себе победу.
10. Ромашка с 12 лепестками. Ход - оторвать либо один лепесток, либо два подряд идущих (не на данный момент подряд идущих, а только те, которые были соседними изначально). Проигрывает тот, кому нечего рвать.
11. Доказать, что на доске 3 на 6 белая ладья всегда может срубить чёрного слона.

Арифметика сравнений по модулю p. Она же "Классы равноостаточных чисел". Она же "Арифметика остатков".

Ничего страшного в этих терминах нет, бояться не надо. Это всё про деление натуральных (и целых) чисел с остатком. Возможно, для 5 классов чуть тяжеловато, но уже в 6 классе эту тему можно (и нужно) давать смело. Общее число уроков по теме - два.

00:30 Начали с устного математического диктанта. Вспомнили каков остаток от деления числа 5 на 3 при делении с остатком. При делении 20 на 3? При делении -1 на 3? Задумались? А Артём сходу выдаёт правильный ответ 2.
02:50 Ввели понятие равноостаточных чисел. Выписали равноостаточные числа при делении их на 3. Выяснили, что а) будем называть их равноостаточными по модулю 3, б) множества равноостаточных чисел будем называть классами, в) выберем представителей в каждом классе.
07:13 Закрепили введённые понятия устными упражнениями.
11:10 Перешли к письменным упражнениям (просто делили 2025 с остатком), вспомнив признаки делимости с остатком на числа 2, 4, 8, ..., 3, 9, 5, 10, и даже на 11 и 7.
17:18 Озвучены две главные теоремы.
20:19 Решаем большое количество примеров вида "Найти 2025+2026 по модулю 6" и "Найти 2025 в кубе по модулю 6".
22:21 Изучаем 4 метода решения сложных задач арифметики остатков и их помощью решили следующие задачи:
23:01 Найти остаток от деления произведения 2021, 2022, 2023 и 2024 на 2025.
26:00 Доказать что произведение чисел n, n+1 и n+2 делится нацело на 3 при любом натуральном (целом) n.
28:01 Найти последнюю цифру у числа 333 в степени 333.
32:51 Запомнили, что квадраты натуральных чисел при делении на 3 и 4 могут давать остатки только 0 и 1. А кубы при делении на 7 (9) дают только 0, 1 и 6 (8).
37:06 Озвучены 13 задач по теме на дом. Разбор их решений - на следующем уроке.

Второй, завершающий урок по теме "Арифметика сравнений по модулю p".

00:19 Найти 2025 в степени 2025 по модулю 2026.
02:40 Найти 2 в степени 100 по модулю 7.
07:31 Найти сумму чисел 2024 в степени 2024, 2025 в степени 2025 и 2026 в степени 2026 по модулю 3.
09:14 Найти 7 в степени 7 по модулю 10.
10:05 Доказать, что сумма n-куба и 2n делится на 3 нацело для любого целого n.
13:52 Доказать, что разность n-куба и n делится нацело на 24 для любых нечётных n.
17:20 Найти р, если известно, что р, р+10 и р+20 - простые числа.
22:45 Может ли сумма кубов двух натуральных чисел равняться разности куба третьего натурального числа и числа 4?
28:11 Доказать что сумма 43 в степени 2025 и 23 в степени 2025 делится нацело на 66.
33:47 При каком натуральном n выражение n*n+11n+1 делится нацело на 169?
36:40 Доказать, что 20^n+16^n-3^n-1 делится нацело на 323 для любого натурального n.

Задачи на составление уравнений. Раздел: задачи на работу и производительность труда.

00:30 Теория.
03:49 Задача - визитная карточка темы. Собака проглатывает миску еды за 1 минуту, щенок расправляется с этой миской за 2 минуты. Какое время займёт у них совместная трапеза?
05:42 Как оказалось, для времени обеда двух собачек была готовая формула.
11:45 Какое уравнение записать? Философско-математические рассуждения.
12:28 Четыре трубы заполняют бассейн за 10 часов. Первые три трубы заполняют бассейна за 15 часов, три последние - за 18 часов. За сколько часов заполнят бассейн первая и последняя трубы, работая вместе?
16:19 Секретарь и его помощник рассылают письма. Секретарь разослал 65% писем за 13 часов, а секретарь управился со своими письмами за 3 часа. Сколько писем надо было отдать помощнику, чтобы работа была выполнена одновременно?
20:47 Три насоса заполняют бассейн за 1 час. Их производительности относятся как 24: 17: 9. Сколько процентов бака будет заполнено за 1,5часа вторым и третьим насосом, работающими вместе?.
25:28 Отношение производительностей трёх буровых скважин относится как 7: 6: 5. Производительность первой скважины упала на 4%, второй - на 2%. На сколько процентов надо повысить производительность третьей скважины, чтобы общая добыча нефти не изменилась?
28:51 Два экскаватора, работая вместе, загружают самосвал за 16 минут. Их производительности относятся как 1:2. Работали они так: сначала самосвал загружал первый экскаватор, а потом второй. И понадобилось им на это 30 минут. Сколько минут работал каждый из экскаваторов?
32:27 Два экскаватора, работая вместе, загружают самосвал за 4 часа. Их производительности относятся как 2:3. Работали они так: сначала загружали вместе, а первый сломался и завершал погрузку второй. Поэтому вся погрузка растянулась на 6 часов. Сколько часов работал первый экскаватор?

Задачи на составление уравнений. Раздел: задачи на проценты.

00:40 Устный математический диктант. Один процент - это ... и так далее.
03:47 Устный математический диктант продолжается, но становится более изощрённым: товар стоил 100 рублей, цену товара повысили на 50%, потом повысили ещё на 75%, потом понизили на 20% и так далее...
09:24 Типография выпустила книгу, которая попала на торговую базу с 50%-й оптовой наценкой. Магазин выкупил книгу с базы и установил свою 20%-ю розничную наценку. Но продать книгу смогли за 630 рублей только во время распродажи, когда установили 30%-ю скидку. Чему равнялась себестоимость книги для типографии?
11:45 Костюм, как логично предположить, состоит из пиджака и брюк. Если повысить цену пиджака на 35%, а цену брюк на 10%, то цена костюма вырастет на 20%. Сколько процентов стоимости костюма составляют брюки?
17:55 Вкладчик положил 7000 рублей в банк под 10% годовых. В конце первого года после начисления годовых он доложил какую-то сумму денег так, чтобы в конце второго года у него на счету было не менее 10000 рублей. Какую минимальную сумму ему необходимо доложить для выполнения условия задачи? Ответ округлить до целого числа рублей.
21:36 В комиссионном магазине цена товара уменьшается на фиксированное число процентов. Ноутбук, сданный за 40000 рублей был куплен через два месяца за 25000 рублей. На сколько процентов уменьшается цена ежемесячно?
22:47 Продукты подешевели на 60%, а промышленные товары - на 35%. В результате потребительская корзина подешевела на 50%. Сколько процентов потребительской корзины составляла стоимость продуктов до снижения цен?
26:05 Магазин реализует товар с 40%-й наценкой относительно закупочной цены. После того, как было продано 75% товара, магазин устроил распродажу со скидкой 40%, после чего товар был распродан. Сколько процентов от закупочной цены составила прибыль магазина?

Задачи на составление уравнений. Раздел: смеси и сплавы.

00:34 Визитная карточка темы. Собрали 100 кг грибов, влажность которых 99%. Сколько высушенных грибов получили, если их влажность 98%?
05:14 Морская вода содержат 5% соли. Сколько пресной воды нужно добавить к 40 кг морской воды, чтобы процентное содержание соли упало до 2%?
14:48 Влажность фруктов 80%, сухофруктов - 24%. Сколько фруктов необходимо собрать, чтобы получить 5 кг сухофруктов?
17:59 Сплавили 60 кг сплава с 40%-м содержанием меди с 40 кг сплава с 70%-м содержанием меди. Каково процентное содержание меди в получившимся куске?
21:41 Имеются два куска трёхкомпонентных (медь, олово и цинк) сплавов с одинаковым процентным содержанием цинка. Первый кусок весит 150 кг и в нём 40% олова, второй - 250 кг и в нём 26% меди. Каким будет процентное содержание меди в новом куске, если сплавить два исходных?
28:46 От двух кусков сплавов с различным процентным содержанием меди, весящих 6 и 3 кг, было отрезано по куску равного веса. Каждый из отрезанных кусков был сплавлен с остатком другого куска, после чего процентное содержание меди в обоих сплавах стало одинаковым. Сколько весил каждый из отрезанных кусков?

Задачи на составление уравнений. Задачи на движение.

00:34 Задача-шутка. Из А в В, расстояние между которыми 721 км, выехал пассажирский поезд со скоростью 80 км/час. Через 21 минуту из В в А выехал грузовой поезд со скоростью 60 км/час. Какое расстояние между ними было за 1 час до их встречи?
02:52 Следующая задача более чес серьёзная. Она ещё с подвохом. Туда автомобиль ехал со скоростью 80 км/час, а возвращался со скоростью 60 км/час. Найти среднюю скорость автомобиля на протяжении всей поездки.
05:16 Бег по кругу. Если Заяц и Волк бегут по кругу стадиона навстречу друг другу, то встречаются каждую минуту. А если в одну сторону, то Заяц догоняет Волка каждые 3 минуты. Во сколько раз скорость Зайца больше скорости Волка?
09:45 Минутная и часовая стрелки совпадают в 12:00. Во сколько произойдёт их следующая встреча?
16:40 Сколько раз встречаются в течение суток часовая и минутная стрелки?
18:56 От моста одновременно поплыли пловец против течения и мяч по течению. Через 30 минут пловец развернулся и поплыл назад. Мяч он догнал в 2 км от моста. Какова скорость течения реки?
22:31 Волк гонится за Зайцем и они забежали в метро. Один из них пробежал 60 ступенек по движущемуся вниз эскалатору, а другой - 40 ступенек. Сколько ступенек на неподвижном эскалаторе, если скорость Волка в два раза больше скорости Зайца.
28:15 Автобусы отправляются от конечной остановки с интервалом в 1 минуту. Сколько встречных автобусов увидит пассажир, проехавший от одной конечной остановки до другой, считая автобусы на конечных остановках? Время в пути - 60 минут.
31:43 Поезд приходит на вокзал в 8.00. Пассажира с поезда встречает его брат, который везёт его домой. Однажды пассажир приехал в 7.00 и пошёл домой пешком. Дойти до дома он не успел - навстречу ему попался его брат, который ехал на вокзал. В результате пассажир попал домой на 20 минут раньше обычного. Во сколько часов встретились братья?
36:15 Расстояние от А до В составляет 24 км. Одновременно из А и В навстречу друг другу вышли мальчик и девочка со скоростями 7 км/час и 5 км/час. В то же самое время из А в В выбежала собака со скоростью 12 км/час. Добежав до девочки, она развернулась и побежала к мальчику. Добежав до мальчика, она развернулась и побежала к девочке, м так далее. Какое расстояние пробежала собака до момента встречи детей?

Инварианты.

00:47 Дано число 0. И далее выстраиваем последовательность чисел по следующему правилу: каждое следующее получаем, прибавляя к предыдущему числу число 2 или умножая его на 2. Можно ли в результате получить 2026? А 2025?
01:32 В результате мы открыли для себя самый первый и самый простой инвариант - чётность/нечётность числа. И мы узнаём определение инварианта.
02:40 Дано число 0. И далее выстраиваем последовательность чисел по следующему правилу: каждое следующее получаем, прибавляя к предыдущему числу число 3 или умножая его на 3. Можно ли в результате получить 2026? Решение этой задачи позволило сообразить, что в качестве инварианта могут выступать не только остатки от деления на 2 (чёт/нечёт), но и остатки от деления на любое натуральное число.
05:54 Есть три стакана. Четыре стоят "нормально", а один - вверх дном. За один ход можно выбрать любые два стакана и перевернуть их. Доказать, что нельзя получить ситуацию, при которой все стаканы стоят "нормально" и в них можно налить лимонад. На примере этой задачи мы выясняем, что бывают "аддитивные" инварианты, связанные со сложением суммы состояний, а бывают "мультипликативные", в которых состояние системы определяется произведением состояний её элементов.
16:18 На барабане "Поля чудес" 8 секторов. В каждом секторе лежит по одной фишке. Все фишки двухцветные - одна сторона белая, другая - чёрная. В секторе 1 фишка лежит чёрной стороной вверх, на остальных фишки лежат белой стороной вверх. За один ход можно перевернуть любые две фишки. Доказать, что невозможно добиться того, чтобы все фишки легли одним цветом вверх.
18:03 В во всех клетках таблицы 4 на 4, кроме одной, записано число 1. В правой нижней клетке записано число -1. Зав один ход можно выбрать любую строчку или столбец и поменять знак у всех чисел в этой строчке (или столбце). Можно ли получить таблицу из всех чиел 1?

Решение задач

В начале урока были предложены задачи, которые затем были решены.

Задача 1. Даны числа 1, 2, ..., 2026. Разрешается выбрать несколько из них и заменить их остатком от деления на 7. В результате осталось два числа, одно из которых равно 1000. Чему равно второе?

Задача 2. К упорядоченной тройке чисел (а, b, c) разрешено применять операцию, переводящую эту тройку в тройку (a+b-c, a-b+c, -a+b+c). Можно ли из тройки (2000, 2050, 2100) получить (2025, 2026, 2027)?

Задача 3.К упорядоченной тройке чисел (а, b, c) разрешено применять операцию "заменить какие-то х и у на (х+у)/\sqrt2 и (х-у)/\sqrt2. Можно ли из тройки (\sqrt2, 2, 1/\sqrt2) получить (1, \sqrt2, 1+\sqrt2)? Выражение \sqrt2 означает корень квадратный из числа 2.

Задача 4. Дана таблица 3 на 3 в ячейках которой записаны числа 0, 3, 2 - в первой строке, 6, 7, 0 - во второй строке, 4, 9, 6 - в третьей строке. Можно ли получить из неё таблицу с числами 1, 0, 0 - в первой строке, 0, 0, 0 - во второй строке, 0, 0, 1 - в третьей строке, если разрешена операция "к двум соседним числам в таблице можно прибавить одно и то же а) целое, б) действительное число". Соседние числа - те, ячейки которых имеют общую сторону.

Задача 5. На барабане "Поля чудес" с 10 секторами в каждом секторе лежит по одной фишке. Разрешена операция "выбрать любые две фишки и переложить каждую из них на какое-то соседнее для неё поле". Можно ли собрать все фишки в одном секторе?

Задача 6. На барабане "Поля чудес" с 6 секторами в каждом секторе записано по одному числу: а) 1, 0, 0, 0, 0, 0; б) 1, 0, 1, 0, 0, 0. Разрешена операция "выбрать любые два сектора и прибавить к числам, стоящим в них по числу 1". Можно добиться, чтобы все 6 чисел на барабане стали равными?